丘成桐證明了卡拉比猜想、正質(zhì)量猜想等,是幾何分析學(xué)科的奠基人,以他的名字命名的卡拉比-丘流形,是物理學(xué)中弦理論的基本概念,對(duì)微分幾何和數(shù)學(xué)物理的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)。 美國(guó)階段
他的突出成績(jī)和鉆研精神為當(dāng)時(shí)的美籍教授薩拉夫所賞識(shí),薩拉夫力薦他到美國(guó)加利福尼亞大學(xué)伯克利分校攻讀博士研究生。19歲的時(shí)候來(lái)到美國(guó)加州大學(xué)伯克利分校?!?1歲畢業(yè)時(shí)就注定要改變數(shù)學(xué)的面貌”這不是作者的話,這是幾年前加州大學(xué)洛杉磯分校希望把丘教授聘請(qǐng)過(guò)來(lái)的時(shí)候,系里討論時(shí)一個(gè)年紀(jì)很大的幾何學(xué)家引用陳省身先生說(shuō)的一句話。在伯克利學(xué)習(xí)期間他證明了卡拉比猜想、正質(zhì)量猜想,開(kāi)創(chuàng)了一個(gè)嶄新的領(lǐng)域:幾何分析。當(dāng)年他只有28歲。也就是說(shuō),從入學(xué)伯克利到他在世界數(shù)學(xué)家大會(huì)做一小時(shí)報(bào)告之間相隔還不到10年。在他作報(bào)告的那一年,陳景潤(rùn)先生也同時(shí)被邀請(qǐng)做45分鐘的報(bào)告。 丘成桐
20世紀(jì)70年代左右的伯克利分校是世界微分幾何的中心,云集了許多優(yōu)秀的幾何學(xué)家和年輕學(xué)者。在這里,丘成桐得到IBM獎(jiǎng)學(xué)金,并師從著名微分幾何學(xué)家陳省身。數(shù)學(xué)是奇妙的,也是生澀的。即使是立志在數(shù)學(xué)領(lǐng)域建功立業(yè)的年輕學(xué)生,能堅(jiān)持到最后并出成果的,也是寥若晨星。丘成桐正可謂這樣一顆“晨星”。常常有這樣的情景——偌大的教室中,聽(tīng)課的學(xué)生越來(lái)越少,最后竟然只剩下教授一人面對(duì)講臺(tái)下唯一的學(xué)生悉心教誨。這唯一的學(xué)生,就是丘成桐。到伯克利分校學(xué)習(xí)一年后,丘成桐便完成了他的博士論文,文中巧妙地解決了當(dāng)時(shí)十分著名的“沃爾夫猜想”。他對(duì)這個(gè)問(wèn)題的巧妙解決,使當(dāng)時(shí)的世界數(shù)學(xué)界意識(shí)到一個(gè)數(shù)學(xué)新星的出現(xiàn)。丘成桐是公認(rèn)的當(dāng)代最具影響力的數(shù)學(xué)家之一。他的工作深刻變革并極大擴(kuò)展了偏微分方程在微分幾何中的作用,影響遍及拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)幾何、表示理論、廣義相對(duì)論等眾多數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域。 解決Calabi猜想,即一緊Kahler流形的第一陳類≤0時(shí),任一陳類的代表必有一Kahler度量使得其Ricci式等于此陳類代表。這在代數(shù)幾何中有重要的應(yīng)用。 與蕭蔭堂合作證明單連通Kahler流形若有非正截面曲率時(shí)必雙全純等價(jià)于復(fù)歐氏空間,并給Frankel猜想一個(gè)解析的證明。 在各種Ricci曲率條件下估計(jì)緊黎曼流形上Laplace算子的第一與第二特征值。 1976年解決關(guān)于凱勒-愛(ài)因斯坦度量存在性的卡拉比猜想,其結(jié)果被應(yīng)用在超弦理論中,對(duì)統(tǒng)一場(chǎng)論有重要影響。第一陳類為零的緊致凱勒流形稱為卡拉比-丘流形,在數(shù)學(xué)與弦論中都很重要。作為應(yīng)用,丘成桐還證明了塞梵利猜想,發(fā)現(xiàn)Miyaoka-丘不等式。丘成桐對(duì)c1> 0 情形的凱勒-愛(ài)因斯坦度量存在性也作出了重要的貢獻(xiàn),猜想了它與代數(shù)幾何中幾何不變量理論意義下的穩(wěn)定性的關(guān)系。這激發(fā)了Donaldson 關(guān)于數(shù)量曲率與穩(wěn)定性等一系列的重要工作。 與鄭紹遠(yuǎn)合作證明實(shí)與復(fù)的Monge-Ampère 方程解的存在性,并證明高維閔科夫斯基問(wèn)題,擬凸域的凱勒-愛(ài)因斯坦度量存在性問(wèn)題。 丘成桐開(kāi)創(chuàng)了將極小曲面方法應(yīng)用于幾何與拓?fù)溲芯康南群?。通過(guò)對(duì)極小曲面在時(shí)空中行為的深刻分析,1978年他與R.舍恩合作解決了愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論中的正質(zhì)量猜想。
丘成桐與Karen Uhlenbeck 合作證明了任意緊致凱勒流形上穩(wěn)定叢的Hermitian-Einstein 度量的存在性,推廣了Donaldson 關(guān)于射影代數(shù)曲面,以及Narasimhan 和Seshadri 關(guān)于代數(shù)曲線的結(jié)果。
丘成桐與Meeks 合作解決了三維流形極小曲面一個(gè)著名的問(wèn)題,即一條極值約當(dāng)曲線的極小圓盤(pán)的Plateau 問(wèn)題的Douglas 解,當(dāng)邊界曲線是一個(gè)凸邊界的子集,那么它在三維空間中是嵌入的。他們接著證明這些嵌入極小曲面在有限群作用下是等變的。他們的工作與Thurston 的工作相結(jié)合,可以推出著名的史密斯猜想。
丘成桐與連文豪、劉克峰合作證明了弦論學(xué)家提出的著名的鏡對(duì)稱猜想。這些公式給出了用對(duì)應(yīng)的鏡像流形上的Picard-Fuchs 方程表示的一大類卡拉比-丘流形上有理曲線數(shù)目的顯式表達(dá)。 丘成桐與劉克峰、孫曉峰合作證明曲線??臻g上各種幾何度量的等價(jià)性,被國(guó)際學(xué)術(shù)界命名為劉孫丘度量。 1984年與Uhlenbeck合作解決在緊Kahler流形上穩(wěn)定的全純向量叢與Yang-Mills-Hermite度量是一一對(duì)應(yīng)的猜想,并得出陳氏的一 個(gè)不等式。
丘成桐正研究的鏡流形,是Calabi-丘流形的一特殊情形,與理論物理的弦理論有密切關(guān)系,引起數(shù)學(xué)界的廣泛注意等等。
其他領(lǐng)域
丘成桐在物理學(xué)和工程學(xué)上都有非常重要的影響,他也因此被聘為哈佛大學(xué)物理學(xué)的終身教授,成為哈佛大學(xué)有史以來(lái)兼任數(shù)學(xué)系教授和物理系教授的唯一一人。丘成桐教授在工程學(xué)的各個(gè)分支做出了很重要的貢獻(xiàn),這些學(xué)科包括控制論、圖論(應(yīng)用到社會(huì)科學(xué))、數(shù)據(jù)分析、人工智能和三維圖像處理,丘成桐在這些方面已經(jīng)發(fā)表了幾十篇重要的論文,多次被工程學(xué)大會(huì)邀請(qǐng)做重要演講和大會(huì)報(bào)告。 對(duì)中國(guó)貢獻(xiàn)
丘成桐對(duì)中國(guó)的數(shù)學(xué)事業(yè)一直非常關(guān)心。
從1984年起,他先后招收了十幾名來(lái)自中國(guó)的博士研究生,要為中國(guó)培養(yǎng)微分幾何方面的人才。他的做法是,不僅要教給學(xué)生一些特殊的技巧,更重要的是教會(huì)他們?nèi)绾晤I(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的精辟之處。他的學(xué)生田剛,也于1996年獲得了維布倫獎(jiǎng),被公認(rèn)為世界最杰出的微分幾何學(xué)家之一。
丘成桐
丘成桐教授是第一位榮獲菲爾茲獎(jiǎng)的華裔人士。他熱心于幫助發(fā)展中國(guó)的數(shù)學(xué)事業(yè)。自1979年以來(lái)多次到中國(guó)科學(xué)院進(jìn)行高質(zhì)量的講學(xué)。由科學(xué)出版社出版了專著《微分幾何》,內(nèi)容主要是他的研究結(jié)果。他還直接指導(dǎo)培養(yǎng)中國(guó)的數(shù)學(xué)博士生,至今已有10余人,成績(jī)顯著。1994年6月8日當(dāng)選為首批中國(guó)科學(xué)院外籍院士。雖然丘成桐是在香港長(zhǎng)大的,但他出生于中國(guó)大陸,深受中國(guó)傳統(tǒng)文化的影響,并堅(jiān)信幫助中國(guó)推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展是自己的責(zé)任。在二十世紀(jì)七十年代中國(guó)對(duì)外開(kāi)放后,丘成桐受到中國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚的邀請(qǐng),于1979年訪問(wèn)中國(guó)。
為了幫助發(fā)展中國(guó)數(shù)學(xué),丘成桐想盡了各種辦法,與他鉆研數(shù)學(xué)問(wèn)題頗為相似。他培養(yǎng)來(lái)自中國(guó)的留學(xué)生,建立數(shù)學(xué)研究所與研究中心,組織各種層次的會(huì)議,發(fā)起各種人才培養(yǎng)計(jì)劃,并募集大量資金。
丘成桐建立的第一個(gè)數(shù)學(xué)研究所是1993年成立的香港中文大學(xué)數(shù)學(xué)研究所。第二個(gè)是1996年建立的北京晨興數(shù)學(xué)中心。中心建立與運(yùn)作的大部分經(jīng)費(fèi)都是丘成桐從香港晨興基金會(huì)籌得的。第三個(gè)是建立于2002年的浙江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)中心。第四個(gè)2009年建立的清華大學(xué)數(shù)學(xué)研究中心。
丘成桐是這三大研究機(jī)構(gòu)的主任,經(jīng)常例行工作視察,作報(bào)告,指導(dǎo)學(xué)生,組織學(xué)術(shù)會(huì)議與暑期學(xué)校等。除了這三個(gè)研究中心,丘對(duì)于臺(tái)灣理論科學(xué)中心的建立以及臺(tái)灣數(shù)學(xué)的發(fā)展作出了重要的貢獻(xiàn)。1997年,他受臺(tái)灣新竹清華大學(xué)校長(zhǎng)劉炯朗邀請(qǐng),作為講席教授訪問(wèn)一年。若干年后,他建議已是“臺(tái)灣國(guó)家科學(xué)委員會(huì)”主席的劉炯朗,建立理論科學(xué)中心。正式成立是在1998年。他擔(dān)任理論科學(xué)中心顧問(wèn)委員會(huì)主任直到2005年。 為了增進(jìn)華人數(shù)學(xué)家的交流與合作。丘成桐發(fā)起組織國(guó)際華人數(shù)學(xué)家大會(huì)。會(huì)議每三年一屆。除了邀請(qǐng)報(bào)告外,還邀請(qǐng)幾位非華裔數(shù)學(xué)家作晨興講座。每次大會(huì)的焦點(diǎn)是頒發(fā)晨興數(shù)學(xué)獎(jiǎng),陳省身獎(jiǎng)。第一屆大會(huì)于1998年12月12-18日在北京晨興數(shù)學(xué)中心召開(kāi)。來(lái)自世界各地華人數(shù)學(xué)家的反響與支持非常熱烈,有400多人與會(huì)。這是第一次在中國(guó)舉行的重要數(shù)學(xué)國(guó)際會(huì)議。第二屆大會(huì)于2001年在臺(tái)灣召開(kāi),第三屆大會(huì)2004年在香港舉行,第四屆大會(huì)2007年在浙江大學(xué)舉行,第五屆大會(huì)于2010年在清華大學(xué)舉行。第六屆大會(huì)于2013年在臺(tái)灣大學(xué)舉行。從第三屆大會(huì)開(kāi)始正式設(shè)立面向大學(xué)生,碩士與博士生的新世界數(shù)學(xué)獎(jiǎng)。 為了激發(fā)中學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)研究的興趣和創(chuàng)造力,培養(yǎng)和發(fā)現(xiàn)年輕的數(shù)學(xué)天才,2004年,丘成桐首先在香港成立了面向香港中學(xué)生的兩年一屆的“恒隆數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”。