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拉格朗日方程（拉格朗日力學(xué)的主要方程）

次瀏覽 | 更新時(shí)間：2023-07-18

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拉格朗日方程是拉格朗日力學(xué)中的主要方程，用于描述物體的運(yùn)動(dòng)，特別是理論物理的研究。它與牛頓第二定律在牛頓力學(xué)中有著相似的功能，對(duì)于理解物理系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力學(xué)性質(zhì)具有重要意義。

拉格朗日方程

拉格朗日力學(xué)的主要方程

拉格朗日方程，因約瑟夫·路易斯·拉格朗日而命名，是拉格朗日力學(xué)的主要方程，可以用來(lái)描述物體的運(yùn)動(dòng)，特別適用于理論物理的研究。拉格朗日方程的功能相等于牛頓力學(xué)中的牛頓第二定律。

基本信息

中文名

拉格朗日方程

外文名

lagrange’s equations

別名

歐拉-拉格朗日方程

優(yōu)勢(shì)

廣義坐標(biāo)個(gè)數(shù)通常比x坐標(biāo)少等

簡(jiǎn)介

拉格朗日方程：對(duì)于完整系統(tǒng)用廣義坐標(biāo)表示的動(dòng)力方程，通常系指第二類拉格朗日方程，是法國(guó)數(shù)學(xué)家J.-L.拉格朗日首先導(dǎo)出的。

通常可寫成：

式中

為系統(tǒng)用各廣義坐標(biāo)

和各廣義速度

所表示的動(dòng)能；

為對(duì)應(yīng)于

的廣義力;

為這完整系統(tǒng)的自由度；

為系統(tǒng)的點(diǎn)數(shù)；

為完整約束方程個(gè)數(shù)。

從虛位移原理可以得到受理想約束的質(zhì)點(diǎn)系不含約束力的平衡方程，而動(dòng)靜法(達(dá)朗貝爾原理)則將列寫平衡方程的靜力學(xué)方法應(yīng)用于建立質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)方程，將這兩者結(jié)合起來(lái)，便可得到不含約束力的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)方程，這就是動(dòng)力學(xué)普遍方程。而拉格朗日方程則是動(dòng)力學(xué)普遍方程在廣義坐標(biāo)下的具體表現(xiàn)形式。

通常，我們將牛頓定律及建立在此基礎(chǔ)上的力學(xué)理論稱為牛頓力學(xué)(也稱矢量力學(xué))，將拉格朗日方程及建立在此基礎(chǔ)上的理論稱為拉格朗日力學(xué)。拉格朗日力學(xué)通過(guò)位形空間描述力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，它適合于研究受約束質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)。拉格朗日力學(xué)在解決微幅振動(dòng)問(wèn)題和剛體動(dòng)力學(xué)的一些問(wèn)題的過(guò)程中起了重要的作用。拉格朗日方程可以用來(lái)建立不含約束力的動(dòng)力學(xué)方程，也可以用來(lái)在給定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的情況下求解作用在系統(tǒng)上的主動(dòng)力。如果要想求約束力，可以將拉格朗日方程與動(dòng)靜法或動(dòng)量定理(或質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理)聯(lián)用。

應(yīng)用

用拉格朗日方程解題的優(yōu)點(diǎn)是：①?gòu)V義坐標(biāo)個(gè)數(shù)通常比

坐標(biāo)少，即

，故拉氏方程個(gè)數(shù)比直角坐標(biāo)的牛頓方程個(gè)數(shù)少，即運(yùn)動(dòng)微分方程組的階數(shù)較低，問(wèn)題易于求解；②廣義坐標(biāo)可根據(jù)約束條件作適當(dāng)?shù)?a class="dict" href="/azgame/od2747207.html">選擇，使力學(xué)問(wèn)題的運(yùn)算簡(jiǎn)化，并且不必考慮約束力；③

和

都是標(biāo)量，比力的矢量關(guān)系式更易表達(dá)，因此較易列出動(dòng)力方程。下面是兩個(gè)例子：

①圖1是一個(gè)半徑為

、質(zhì)量為

的圓盤，它的中心用鉸鏈與質(zhì)量為

的直桿相連。此桿的另一端用鉸鏈固接在半徑為

的空心圓筒的中心

；桿長(zhǎng)

。圓盤繞

點(diǎn)擺動(dòng)。桿的動(dòng)能為

圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)角關(guān)系為

，圓盤繞

點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為

系統(tǒng)以

點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)的勢(shì)能

和系統(tǒng)的動(dòng)能

為：

代入拉格朗日方程

形式

拉格朗日方程的一般形式是：式中

為用各廣義坐標(biāo)

和廣義速度

導(dǎo)表示的系統(tǒng)的動(dòng)能；

為對(duì)應(yīng)

的廣義力。方程式的個(gè)數(shù)等于系統(tǒng)的自由度N。保守系統(tǒng)中存在勢(shì)函數(shù)

，則廣義力距

，又因

中不含

，即

，故完整保守系統(tǒng)的拉格朗日方程為：

在非保守體系中，廣義力不能用

表示，此時(shí)應(yīng)引入廣義勢(shì)能

的概念，

.帶入一般形式可以得到非保守體系的拉格朗日方程。

式中

為拉格朗日函數(shù)，它等于系統(tǒng)的動(dòng)勢(shì)

與位勢(shì)

之差。上式與變分問(wèn)題中的歐拉方程形式相同，由此可導(dǎo)出哈密頓原理。

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