“怎樣解題表”就是《怎樣解題》一書(shū)的精華,該表被波利亞排在該書(shū)的正文之前,并且在書(shū)中再三提到該表。實(shí)際上,該書(shū)就是“怎樣解題表”的詳細(xì)解釋。波利亞的“怎樣解題表”將解題過(guò)程分成了四個(gè)步驟,只要解題時(shí)按這四個(gè)步驟去做,必能成功。如果能在平時(shí)的做題中不斷實(shí)踐和體會(huì)該表,必能很快就會(huì)發(fā)出和波利亞一樣的感嘆:“學(xué)數(shù)學(xué)是一種樂(lè)趣!” 第一,必須弄清問(wèn)題
弄清問(wèn)題
未知數(shù)是什么?
已知數(shù)據(jù)(指已知數(shù)、已知圖形和已知事項(xiàng)等的統(tǒng)稱)是什么?
條件是什么?
滿足條件是否可能?
要確定未知數(shù),條件是否充分?
或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?
畫(huà)張圖。
引入適當(dāng)?shù)姆?hào)。
把條件的各個(gè)部分分開(kāi)。能否把它們寫(xiě)下來(lái)?
第二,找出已知數(shù)與求知數(shù)之間的聯(lián)系。
如果找不出直接的聯(lián)系,可能不得不考慮輔助問(wèn)題。
應(yīng)該最終得出一個(gè)求解的計(jì)劃。
擬定計(jì)劃
以前見(jiàn)過(guò)它嗎?是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同?
是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題?是否知道一個(gè)可能用得上的定理?
看著未知數(shù)!試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題。
這里有一個(gè)與現(xiàn)在的問(wèn)題有關(guān),且早已解決的問(wèn)題,能應(yīng)用它嗎?
能不能利用它?能利用它的結(jié)果嗎?為了能利用它,是否應(yīng)該引入某些輔助元素?
能不能重新敘述這個(gè)問(wèn)題?能不能用不同的方法重新敘述它?
回到定義去。
如果不能解決所提出的問(wèn)題,可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題。能不能想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問(wèn)題?一個(gè)更普遍的問(wèn)題?一個(gè)更特殊的問(wèn)題?一個(gè)類(lèi)比的問(wèn)題?能否解決這個(gè)問(wèn)題的一部分??jī)H僅保持條件的一部分而舍去其余部分,這樣對(duì)于未知能確定到什么程度?它會(huì)怎樣變化?能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西?能不能想出適合于確定未知數(shù)的其它數(shù)據(jù)?如果需要的話,能不能改變未知數(shù)和數(shù)據(jù),或者二者都改變,以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近?
是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)?是否利用了整個(gè)條件?是否考慮了包含在問(wèn)題中的所有必要的概念?
第三,實(shí)行你的計(jì)劃。
實(shí)現(xiàn)計(jì)劃
實(shí)現(xiàn)求解計(jì)劃,檢驗(yàn)每一步驟。
能否清楚地看出這一步是正確的?能否證明這一步是正確的?
第四,驗(yàn)算所得到的解。
回顧反思
能否檢驗(yàn)這個(gè)論證?能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果?能否一下子看出它來(lái)?
能不能把這結(jié)果或方法用于其它的問(wèn)題?
《怎樣解題》表是波利亞在分解解題的思維過(guò)程得到的,看似很平常的解題步驟或方法,其實(shí)卻已包含幾代人的智慧結(jié)晶和經(jīng)驗(yàn)總結(jié)。在這張包括“弄清問(wèn)題”、“擬定計(jì)劃”、“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧反思”四大步驟的解題全過(guò)程的解題表中,對(duì)第二步即“擬定計(jì)劃”的分析是最為引人入勝的。把尋找并發(fā)現(xiàn)解法的思維過(guò)程分解為五條建議和二十三個(gè)具有啟發(fā)性的問(wèn)題,它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過(guò)程進(jìn)行分解,對(duì)解題的思維過(guò)程看得見(jiàn),摸得著,易于操作。波利亞推崇探索法,現(xiàn)代探索法力求了解解題過(guò)程,特別是解題過(guò)程中典型有用的智力活動(dòng)。《怎樣解題》這本書(shū)就是實(shí)現(xiàn)這種計(jì)劃的初步嘗試,“怎樣解題表”實(shí)質(zhì)上就是試圖誘發(fā)靈感的“智力活動(dòng)表”。波利亞的《怎樣解題》表的精髓是啟發(fā)聯(lián)想。聯(lián)想什么?怎樣聯(lián)想?看一看表中所提出的建議和啟發(fā)性問(wèn)題吧?!耙郧耙?jiàn)過(guò)它嗎?是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同?是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題?是否知道一個(gè)可能用得上的定理?……”波利亞說(shuō)在寫(xiě)這些東西時(shí),腦子里重現(xiàn)了過(guò)去在研究數(shù)學(xué)時(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程,實(shí)際上是解決和研究問(wèn)題時(shí)的思維過(guò)程的總結(jié)。這正是數(shù)學(xué)家在研究數(shù)學(xué),特別是研究解題方法時(shí)的優(yōu)勢(shì)所在,絕非“紙上談兵”?;剡^(guò)頭來(lái)想一想,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)自己在解決問(wèn)題時(shí)的確或多或少地經(jīng)歷了這樣一個(gè)過(guò)程。
在解題時(shí),為了找到解法,實(shí)際上也思考過(guò)表中的某些問(wèn)題,只不過(guò)不自覺(jué),沒(méi)有意識(shí)到這些問(wèn)題罷了。在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),可能又忽略許多解決問(wèn)題的方法和細(xì)節(jié)。因此需要控制自己的思路,用頑強(qiáng)的意志不斷地模仿解決問(wèn)題的步驟和方法,爭(zhēng)取達(dá)到靈活運(yùn)用和創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的程度。按波利亞提出的這些問(wèn)題和建議去尋找解法,在解題的過(guò)程中,必將使自己的思維受到良好的訓(xùn)練,久而久之,不僅提高了解題能力,而且養(yǎng)成了有益的思維習(xí)慣。